Grundlagen Markt

iStock.com/enjoynz

Derivatebewertung 4.0: Deep Neural Networks als schnelle Pricer

Deep Neural Networks (DNNs) bilden aktuell die prominenteste Klasse von KI-Verfahren. Ausgehend von einer hinreichend großen Menge an Trainingsdaten sind sie in der Lage, nichtlineare funktionale Zusammenhänge zwischen hochdimensionalen Inputs und Outputs zu approximieren. Insbesondere gilt dies für den funktionalen Zusammenhang, der durch eine Bewertungsfunktion gegeben ist, die – basierend auf einem finanzmathematischen Modell sowie einem typischerweise rechenintensiven numerischen Verfahren – einen hochdimensionalen Markt- und Geschäftsdatenvektor in einen Barwert überführt.

Ein trainiertes DNN liefert hierbei eine hoch performante Approximation der ursprünglichen Bewertungsfunktion; der numerische Aufwand, über das trainierte DNN einen approximativen Barwert zu ermitteln, ist gering und von der numerischen Komplexität der ursprünglichen Funktion unabhängig. Insofern kann es sinnvoll sein, für laufzeitkritische Anwendungen eine gegebene Bewertungsfunktion durch ein an diese Funktion trainiertes DNN zu ersetzen.

Ein solcher Einsatz eines DNNs ist etwa im Rahmen von Marktrisikorechnungen oder Exposure-Simulationen sinnvoll, wo jedes einzelne Geschäft in Tausenden beziehungsweise Millionen von simulierten Marktszenarien zu bewerten ist: Eine schnelle DNN-Approximation erlaubt hier eine akkurate Near-Real-Time-Berechnung der relevanten Risikogrößen (wie etwa Value-at-Risk, XVA oder Auslastung der Kontrahentenrisiko-­Limits). Die Verwendung eines an einen Frontoffice Pricer trainierten DNNs bietet zudem den Vorteil der Konsistenz zwischen Frontoffice Pricing und Risikorechnung.

Grundsätzlich erhöht ein solcher Einsatz eines DNNs das Modellrisiko: Zunächst ist zu beachten, dass das DNN alle Modellschwächen der ursprünglichen Bewertungsfunktion erbt. Ferner besteht das Risiko, dass das DNN auf Szenarien angewendet wird, die von den Trainings-Szenarien grundverschieden sind und in denen sich die ursprüngliche Bewertungsfunktion grundlegend anders verhält; beim Training des DNNs ist daher darauf zu achten, dass der Input-Raum dem jeweiligen Use Case angemessen ist. Es mag beispielsweise sinnvoll sein, das Trainingsset um gestresste Marktszenarien zu erweitern, etwa unter Verwendung von CCAR- oder EBA-Stress-Szenarien. Darüber hinaus ist zu beachten, dass das DNN grundlegende No-Arbitrage-Relationen verletzen und beispielsweise negative Optionspreise produzieren kann, was ggf. Maßnahmen oder Kontrollen erforderlich macht. Schließlich ist anzumerken, dass ein DNN, das eine gegebene Bewertungsfunktion mit hoher Genauigkeit approximiert, aufgrund von möglichen Oszillations­effekten im Allgemeinen nicht via Ableitung zur Berechnung von Sensitivitäten herangezogen werden kann.

Im Folgenden schildern wir eine von uns durchgeführte Fallstudie zur Approximation eines Bermudan Swaption Pricers durch ein DNN sowie zur Anwendung dieser Approximation im Rahmen einer Value-at-Risk-Rechnung.

Training eines DNNs an einen Bermudan Swaption Pricer

Als Referenz-Pricer zur Erzeugung eines Trainingsdatensets verwendeten wir den Bermudan Swaption Pricer der von ­d-fine entwickelten proprietären Bewertungsbibliothek MoCo; dieser Pricer basiert auf dem Hull-White-Modell (5), und er involviert einen Zinskurven-Bootstrapper sowie einen numerischen PDE-Solver.

Ausgehend von 2.000 historischen Marktszenarien für Zins-Par-Kurven (OIS- und 6M-Kurve mit insgesamt 46 Buckets pro Szenario) und implizite Swaption-Volatilitäten (396 Buckets pro Szenario) generierten wir 10.000 Input-Output-Paare (Samples), wobei wir die Geschäftslaufzeit zwischen 0 und 20 Jahren sowie das absolute Moneyness Level zwischen -1,5 und +1,5 Prozent zufällig variierten.

Anschließend trainierten wir ein DNN an 87,5 Prozent der Samples, unter Verwendung von stochastischem Gradientenabstieg mit adaptiver Schätzung von Momenten (6) und abfallender Learning Rate. Hierbei kamen die frei verfügbaren Frameworks Python, Keras (7) und TensorFlow (8) zum Einsatz. Die verbleibenden 12,5 Prozent der Testdaten verwendeten wir für Out-of-Sample-Tests.

Sinnvolle Hyperparameter (Feedforward mit sieben Layern und 64 Neuronen pro Layer, stückweise lineare Aktivierungsfunktionen, Learning Rate 0,01, Learning Rate Decay 0,005) wählten wir durch systematische Variation all dieser Hyperparameter, wobei das Ergebnis insbesondere gegenüber der Wahl einer geeigneten Learning Rate sensitiv war. Wie in Abbildung 1 ersichtlich, ist das trainierte DNN imstande, die Bewertungsfunktion auf hochdimensionalen Out-of-Sample-Inputs sehr gut zu approximieren.  » 1a   und   » 1b

Anwendung im Rahmen einer VaR-Rechnung

Im Anschluss verwendeten wir das trainierte DNN im Rahmen einer Value-at-Risk-Rechnung (VaR-Rechnung). Hierfür betrachteten wir eine feste Bermudanische Swaption mit einer Laufzeit von zehn Jahren und einem Strike von einem Prozent, bei einer Forward Rate von 0,84 Prozent.

Wir verwendeten ein historisches VaR-Modell basierend auf 1.000 historischen Inkrementen. In jedem der betrachteten 1.000 Marktszenarien wurde die Bewertung der Bermudanischen Swaption sowohl durch das DNN als auch durch den ursprünglichen Pricer durchgeführt. Abbildung  » 2  zeigt einen QQ-Plot, der Quantile der Barwertinkremente der DNN-­Approximation und des ursprünglichen Pricers gegenüberstellt; graue Punkte auf der grünen Geraden repräsentieren hierbei eine exakte Approximation der Quantile.

Insgesamt kann das DNN die Verteilung der Barwertinkremente gut reproduzieren, mit maximalem Fehler in den Quantilen von 0,09 Prozent des Nominals. Für den VaR zu den Konfidenzniveaus 5 und 95 Prozent liefert der Referenz-Pricer die Werte -0,376 und 0,257, während der DNN-Pricer die Werte -0,354 und 0,266 liefert, was relativen Fehlern von 5,8 und 3,4 Prozent entspricht.
Die Rechenzeit der VaR-Rechnung konnte durch die Verwendung des DNNs um den Faktor 2.000 reduziert werden.  

Zerlegungen in einfache sowie in residuale komplexe Produkte können die Genauigkeit der Approximation erhöhen: Für Abbildung  » 3  wurde der Barwert der Bermudanischen Swaption in den Max European Swaption Value sowie den Switch Option Value zerlegt; ersterer wurde analytisch berechnet, während letzterer durch ein an den Switch Option Value trainiertes DNN errechnet wurde.
Der maximale Fehler in den Quantilen liegt nun bei lediglich 0,05 Prozent des Nominals. Zu den Konfidenzniveaus 5 und 95 Prozent liefert der so konstruierte DNN-basierte Pricer nun die Quantile -0,380 und 0,250, was relativen Fehlern von 1,0 und 2,8 Prozent entspricht.

Anwendung im Rahmen einer Exposure-­Simulation

Exposure-Simulationen über lange Zeithorizonte dienen der Messung bzw. der Steuerung von Kontrahentenrisiken. Im Rahmen solcher Simulationen wird oft eine reduzierte Menge an Risikofaktoren (Modellzuständen) betrachtet; so wird beispielsweise im Fall eines Hull-White-Modells die Short Rate als einziger Risikofaktor simuliert.

Um ein an hochdimensionale Marktszenarien trainiertes Bewertungs-DNN in diesem Kontext anwenden zu können, müssen niedrigdimensionale Modellzustände zunächst in hochdimensionale Marktzustände überführt werden; beispielsweise muss aus einem Short-Rate-Szenario ein Szenario für die Zinskurve abgeleitet werden. Auch die Transformation von Modellzuständen in Marktzustände kann durch eine DNN-Approximation beschleunigt werden.

Fazit

Deep Neural Networks (DNNs) sind ein mächtiges und relativ einfach anwendbares Werkzeug zur Beschleunigung von Derivatebewertungen, mit für Risikorechnungen ausreichender Genauigkeit. Nach einem initialen Trainingsprozess, der nur einmal pro Produktart durchgeführt werden muss, können Bewertungen komplexer Portfolios in konstanter Zeit ausgeführt werden, wodurch Risikorechnungen signifikant beschleunigt ­werden können.

Wie andere Modelle müssen auch DNNs unter Berücksichtigung regulatorischer Vorgaben validiert werden, wobei das Validierungsvorgehen um DNN-spezifische Ansätze zu erweitern ist. Beispielsweise mag es sinnvoll sein, ein DNN täglich auf einer zufällig gewählten Teilmenge der betrachteten Risikoszenarien mit der ursprünglichen Bewertungsfunktion zu vergleichen, um ein fortlaufendes Monitoring des DNNs zu gewährleisten. Weichen die DNN-Preise verstärkt von den Referenzpreisen ab, so ist dies ein Indikator dafür, dass sich der Markt grundlegend geändert hat und dass das DNN neu trainiert werden sollte.

DNNs und andere KI-Verfahren sind auf viele weitere Probleme im Pricing und im Risikomanagement anwendbar, etwa zur Beschleunigung von Kalibrierungsverfahren, zur Erkennung von Anomalien in Marktdaten oder zum automatisierten Benchmarking klassischer Pricer. Eine besonders interessante Perspektive liefert die Arbeit „Deep Hedging“, die eine DNN-basierte Methode zum modellfreien Bewerten und Hedging vorstellt und die auch Transaktionskosten und Portfolioeffekte berücksichtigen kann. Anwendungen hiervon werden in der Zukunft marktseitig verstärkt evaluiert werden (9).


(1) Deeply Learning Derivatives, Ryan Ferguson and Andrew Green, SSRN, Oktober 2018.
(2) Pricing options and computing implied volatilities using neural networks, ­Shuaiqiang Liu, Cornelis W. Oosterlee, Sander M.Bohte, arXiv, Januar 2019.
(3) Deep Hedging, Hans Buehler, Lukas Gonon, Josef Teichmann, Ben Wood, ­Baranidharan Mohan, Jonathan Kochems; SSRN, März 2019.
(4) Model Calibration with Neural Networks, Andres Hernandez, Risk, Juni 2017.
(5) Interest Rate Modelling, Leif B. G. Andersen, Vladimir V. Piterbarg, Academic Financial Press, 2010.
(6) Adam: A Method for Stochastic Optimization, Diederik P. Kingma, Jimmy Ba, arXiv, Dezember 2014.
(7) Keras, François Chollet and others, keras.io, 2015.
(8) TensorFlow: Large-Scale Machine Learning on Heterogeneous Systems, ­Martín Abadi and others, www.tensorflow.org, 2015.
(9) Deep hedging and the end of the Black Scholes era, Nazneen Sherif, Risk.net, August 2019.

Autoren

Dr. Christian Kappen ist Manager bei der ­d-fine GmbH. Er befasst sich schwerpunktmäßig mit der Entwicklung und der Validierung von Bewertungs- und Risikomodellen, mit besonderem Fokus auf Exposure-Simulationen.
Sascha Geier ist Manager bei der d-fine GmbH. Dort führt er Projekte im Risikomanagement und im Handel verschiedener Banken zur Einführung oder Validierung von Systemen für die Derivatebewertung, XVA, Counterparty Credit Risk und Marktrisiko durch.
Dr. Artur Steiner ist Partner bei der d-fine GmbH. Sein Beratungsschwerpunkt ist die Konzeption und Umsetzung von Bewertungsinfrastrukturen.

 

Verwandte Artikel

Anzeige

Lexikoneinträge